![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Img_6110](https://i.servimg.com/u/f52/16/55/90/26/img_6110.jpg)
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Furmd](https://2img.net/h/oi58.tinypic.com/furmd.png)
Thông điệp [Trang 1 trong tổng số 1 trang]
1 [Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 20/4/2014, 02:15
kyno1
Thành viên mới
Bài viết : 22
Được thanks : 02 Re: [Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 20/4/2014, 02:17
hanyeuvodoi
Thành viên mới
Bài viết : 10 Được thanks : 1Bài 2:
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?x_{n}=\frac{-14x_{n-1}-51}{5x_{n-1}+18})
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?\leftrightarrow%20x_{n}+3=\frac{x_{n-1}+3}{5x_{n-1}+18})
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?\leftrightarrow%20\frac{1}{x_{n}+3}=\frac{5(x_{n-1}+3)+3}{x_{n-1}+3}=5+\frac{3}{x_{n-1}+3})
(1)
Đặt![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?y_{n}=\frac{1}{x_{n}+3}+\frac{5}{2})
.(1) trở thành.
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?y_{n}=3y_{n-1}=3^{n-1}y_{1}=3^{n-1}\frac{11}{4})
Từ đó, ta có:![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq.latex?x_{n}=\frac{1}{3^{n-1}](http://www.codecogs.com/eq.latex?x_{n}=\frac{1}{3^{n-1}.\frac{11}{4}-\frac{5}{2}}-3)
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?lim%20x_{n}=-3)
Đặt
Từ đó, ta có:
3 Re: [Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 20/4/2014, 02:18
Admin
Quản Trị Viên
Bài viết : 707 Được thanks : 22Câu 4:
Cho![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?y=x-1)
thì ta có:
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?f(y)+g(2y+3)=2y+2)
hay ![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?f(x)+g(2x+3)=2x+2)
(1)
Cho![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?y=2x+2)
thì ta sẽ suy ra được:
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?f(x)+2g(2x+3)=\frac{1}{2}x-2)
(2)
Lấy (2)-(1) ta được:
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?g(2x+3)=-\frac{3}{2}x-4)
Suy ra :![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?g(x)=-\frac{3}{4}x-\frac{7}{4})
Thay vào (1) thì được :
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?f(x)=\frac{7}{2}x+6)
Thử lại thấy![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?f,g)
thõa mãn yêu cầu bài toán với mọi ![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?x)
Vậy
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 8](https://2img.net/h/thpt-chauthanh-brvt.edu.vn/forum/images/smilies/8.gif)
Cho
Cho
Lấy (2)-(1) ta được:
Suy ra :
Thay
Thử lại thấy
Vậy
4 Re: [Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 20/4/2014, 02:20
Kuroemon
Thành viên đồng
Bài viết : 152 Được thanks : 0Câu 5: Cho ![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?x%20\in%20R)
thoả ![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?\{%20x%20\}%20=%20\{%20x^2%20\}%20=%20\{%20x^{2013}%20\})
. Chứng minh ![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?x%20\in%20Z)
, với ![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?\{%20x%20\})
là phần lẻ của số thực .
Do![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?\left%20\{%20x^2%20\right%20\}=\left%20\{%20x%20\right%20\})
nên tồn tại số nguyên ![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?%20k)
sao cho ![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?%20x^2-x=k%20\Leftrightarrow%20x^2-x-k%20=%200%20(*))
Ta sẽ chứng minh phương trình này không có nghiệm hữu tỉ hoặc vô tỉ
Từ (*), ta có :
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?%20\Delta=4k+1)
*Nếu Δ là số chính phương thì ta có đpcm
*Nếu Δ là số chính phương thì ta xét 2 trường hợp
+Xét trường hợp Δ không là số chính phương :
Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ, nhưng
Do Δ không chính phương thì![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?\sqrt{%20\Delta})
không phải số hữu tỉ
Khi đó điều này vô lý, tức nghiệm của phương trình không hữu tỉ.
+Xét trường hợp x là số vô tỉ.
Ta có![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?x^2=x+k)
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?\Rightarrow%20x^3=x^2+kx=x+k+xk=k+x(k+1)=ax+b)
với ![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?a,b%20\in%20%20Z)
Vậy ta viết được![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?x^{2013})
dưới dạng ax+b với ![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?%20a,b%20\in%20%20Z)
Mặt khác ,
![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?\left%20\{%20x%20\right%20\}=\left%20\{%20x^2%20\right%20\}=\left%20\{%20x^{2013}%20\right%20\})
nên tồn tại số nguyên c sao cho ![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Eq](http://www.codecogs.com/eq.latex?x^{2013}%20=x+c%20\Leftrightarrow%20ax+b=x+c%20\Leftrightarrow%20x=%20\frac{b-c}{1-a})
Đây là số hữu tỉ,trái với trường hợp ta đang xét --> Vô lý
Vậy ta có đpcm...![[Toán] Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm học 2012-2013 Icon1](https://2img.net/h/thpt-chauthanh-brvt.edu.vn/forum/images/icons/icon1.gif)
Do
Ta sẽ chứng minh phương trình này không có nghiệm hữu tỉ hoặc vô tỉ
Từ (*), ta có :
*Nếu Δ là số chính phương thì ta có đpcm
*Nếu Δ là số chính phương thì ta xét 2 trường hợp
+Xét trường hợp Δ không là số chính phương :
Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ, nhưng
Do Δ không chính phương thì
Khi đó điều này vô lý, tức nghiệm của phương trình không hữu tỉ.
+Xét trường hợp x là số vô tỉ.
Ta có
Vậy ta viết được
Mặt khác ,
Đây là số hữu tỉ,trái với trường hợp ta đang xét --> Vô lý
Vậy ta có đpcm...
Thông điệp [Trang 1 trong tổng số 1 trang]
Permissions in this forum:
Bạn không có quyền trả lời bài viết
|
|
|